美国大学多变量微积分补习哪些内容

多变量微积分课程涵盖了向量和多元微积分。在麻省理工学院，它标记为18.02，是麻省理工学院新生微积分课程的第二学期。课程内容包括向量和矩阵、参数曲线、偏导数、二重和三重积分，以及在二维和三维空间中的向量微积分。

正如其名称所示，多元微积分是微积分的扩展，涉及到多于一个自变量的情况。也就是说，在单变量微积分中，你研究的是一个独立自变量的函数：

y=f(x)。

在多元微积分中，我们研究两个或更多独立自变量的函数，例如：

z=f(x, y)或w=f(x, y, z)。

这些函数本身就具有趣味性，但它们也是描述物理世界的重要工具。

许多事物都依赖于不止一个独立自变量。以下是一些例子：

·在热力学中，压力取决于体积和温度。

·在电学和磁学中，磁场和电场是三个空间变量(x、y、z)和一个时间变量t的函数。

·在经济学中，函数可以依赖于大量独立自变量，例如，制造商的成本可能取决于27种不同商品的价格。

·在建模流体或热流动时，速度场依赖于位置和时间。

单变量微积分是一个高度几何的学科，多元微积分也是如此，甚至可能更加如此。在你的微积分课程中，你学习了函数y=f(x)的图形，并学会了将导数和积分与这些图形联系起来。在这门课程中，我们也将研究图形并将它们与导数和积分联系起来。一个关键的区别是，更多的变量意味着更多的几何维度。这使得图形的可视化既更加困难，也更有价值和有用。

在课程结束时，你将知道如何对多个变量的函数进行微分和积分。在单变量微积分中，微积分基本定理将导数与积分联系起来。在多元微积分中，我们也会看到类似的情况，而课程的顶点将是三个定理(格林、斯托克斯和高斯定理)。

课程目标

完成这门课程后，学生应该已经形成了多元微积分的基本概念的清晰理解，并具备一系列能够使他们有效地应用这些概念的技能。

基本概念包括：

·导数作为变化率，通过极限比率计算

·积分作为“和”，通过黎曼和的极限计算

技能包括：

·熟练掌握向量运算，包括向量证明以及在各种描述几何性质的方式之间自如转换，即图形、文字、向量表示和坐标表示。

·熟练掌握矩阵代数，包括将线性方程系统转化为矩阵格式并使用矩阵乘法和矩阵逆解决它们的能力。

·对参数曲线的理解，将其视为由位置向量描述的轨迹;能够找到曲线的参数方程并计算其速度和加速度向量。

·对梯度的全面理解，包括与等高线(或曲面)、方向导数和线性近似的关系。

·使用链式法则或全微分法计算导数的能力。

·能够设置和解决涉及多个变量的优化问题，无论是否有约束条件。

·对工作和通量的线积分、通量的面积积分、通用面积积分和体积积分的理解。同时，了解这些积分的物理解释。

·能够在直角、极坐标、柱坐标和球坐标中设置和计算多重积分。

·能够在多重积分中更换变量。

·对课程中的主要定理(格林、斯托克斯、高斯)以及这些定理的一些物理应用的理解。

课程结构

这门为独立学习设计的课程已经组织成按照麻省理工学院多元微积分课程中涵盖的主题顺序进行的。课程内容分为四个主要单元：

1.向量和矩阵

2.偏导数

3.平面内的二重积分和线积分

4.三维空间中的三重积分和曲面积分

每个单元都进一步划分为不同的部分(A、B、C等)，每个部分包含一系列课程。由于每个课程都建立在以前课程的知识基础上，按顺序进行课程进度非常重要。每个课程涵盖了你可能在一次学习中完成的内容。

在每个单元内，你将在战略性的点上收到一组问题，以便测试你对材料的理解。每个单元结束时，都会有一个综合考试，涵盖了你在该单元中学到的所有主题。

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